011. Identifică elementele și criteriul
D = {1, 2, …, 12}. Grupăm numerele în C = {3, 6, 9, 12} și R = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}. Care sunt obiectul, clasele și criteriul? Este împărțirea completă și fără suprapuneri?
Vezi rezolvarea și verificarea
- Obiectul este mulțimea D; clasele obținute sunt C și R.
- Criteriul este divizibilitatea cu 3: C cuprinde multiplii lui 3, iar R restul numerelor din D.
- Reuniunea claselor este D, iar intersecția este vidă. Niciun număr nu lipsește și niciunul nu apare în ambele clase.
Rezultat: Obiect D; clase C și R; criteriu: divizibilitatea cu 3. Clase complete și disjuncte.
Verificare: În C sunt 4 numere, în R sunt 8; cele 12 valori distincte sunt exact elementele lui D.
2. Găsește elementul omis
Păstrăm D = {1, 2, …, 12}. Se propun C = {3, 6, 9, 12} și R = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}, după divizibilitatea cu 3. Ce eroare apare și cum o corectezi?
Vezi rezolvarea și verificarea
- Numărul 11 aparține lui D, dar nu apare nici în C, nici în R.
- Clasificarea este incompletă: clasele lasă un element neîncadrat.
- Adăugăm 11 în R, deoarece 11 nu este divizibil cu 3.
Rezultat: Lipsește 11; corectarea este includerea lui în R.
Verificare: După corectare, reuniunea devine D și clasele nu au elemente comune. Numărul 11 este un contraexemplu suficient pentru varianta inițială.
3. Acoperirea nu exclude suprapunerea
Numerele din D = {1, 2, …, 12} sunt grupate în A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} și B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Identifică defectul și corectează pragul.
Vezi rezolvarea și verificarea
- Toate numerele din D apar, deci nu avem un element omis.
- Numărul 6 apare în ambele clase: A ∩ B = {6}. Regula opoziției dintre clase nu este respectată.
- Păstrăm A ca numere mai mici sau egale cu 6 și schimbăm B în {7, 8, 9, 10, 11, 12}, adică numere strict mai mari decât 6.
Rezultat: Suprapunere la 6; clasele corecte sunt n ≤ 6 și n > 6, în domeniul D.
Verificare: După corectare sunt două clase a câte 6 elemente; reuniunea este D și intersecția este vidă.
4. Două criterii pe aceeași treaptă
Exemplu fictiv: A și B sunt în clasa a IX-a; C și D sunt în a X-a. B și C participă la șah, A și D nu participă. Propunem grupele „elevi de clasa a IX-a” = {A, B} și „participanți la șah” = {B, C}. Ce nu funcționează?
Vezi rezolvarea și verificarea
- Sunt amestecate două criterii: clasa școlară și participarea la șah.
- B apare de două ori, iar D nu apare deloc. Avem simultan suprapunere și lipsă de completitudine.
- Alegem un singur criteriu. După clasa școlară obținem {A, B} și {C, D}; după participarea la șah obținem {B, C} și {A, D}.
Rezultat: Criterii amestecate; B este în ambele grupe, D lipsește. Oricare dintre cele două corecții folosește un singur criteriu.
Verificare: În fiecare variantă corectată, A, B, C și D apar o singură dată. Numele literale sunt convenții de exercițiu, nu date despre elevi reali.
5. Un element străin domeniului
D = {2, 4, 6, 8}. După pragul 5, se propun A = {2, 4} și B = {6, 8, 10}. Este corectă această clasificare a lui D?
Vezi rezolvarea și verificarea
- Numărul 10 nu aparține domeniului declarat D.
- Reuniunea A ∪ B este {2, 4, 6, 8, 10}, deci diferă de D. Clasificarea este prea abundentă.
- Înlăturăm 10 din B. Obținem A = {2, 4} și B = {6, 8}, ambele submulțimi ale lui D.
Rezultat: Element străin: 10. Corecție: B = {6, 8}.
Verificare: Clasele corectate acoperă D fără intersecție. Nu schimbăm domeniul enunțului ca să justificăm răspunsul greșit.
6. Construiește patru clase
Clasifică numerele din D = {1, 2, …, 12} după restul împărțirii la 4. Scrie clasele și verifică rezultatul.
Vezi rezolvarea și verificarea
- Resturile posibile sunt 0, 1, 2 și 3. Acesta este criteriul comun tuturor claselor.
- Obținem C0 = {4, 8, 12}, C1 = {1, 5, 9}, C2 = {2, 6, 10}, C3 = {3, 7, 11}.
- Fiecare număr are un singur rest la împărțirea la 4; clasele sunt disjuncte și împreună acoperă D.
Rezultat: C0 = {4, 8, 12}; C1 = {1, 5, 9}; C2 = {2, 6, 10}; C3 = {3, 7, 11}.
Verificare: Sunt patru clase a câte trei elemente, în total cele 12 valori distincte. Pentru această sarcină aritmetică, membrii fiecărei clase au aceeași proprietate relevantă: restul la împărțirea la 4.
