Exerciții de logică rezolvate pentru BAC, pas cu pas
De la raporturile dintre termeni la silogism: opt exemple cu enunț, simbolizare, rezolvare și explicația greșelii frecvente.
Încearcă fiecare cerință înainte să citești soluția. Exemplele sunt create pentru antrenament; pentru o variantă de examen folosește și subiectul și baremul oficial.
Notații: SaP = Toți S sunt P; SeP = Niciun S nu este P; SiP = Unii S sunt P; SoP = Unii S nu sunt P. Prin non-P înțelegem complementul lui P în universul ales.
Exercițiul 1 · termeni
Ce raport există între „pătrat” și „dreptunghi”?
Enunț. Stabilește raportul dintre cei doi termeni și explică de ce nu pot fi inversați într-o afirmație universală.
Considerăm patrulaterele din geometria euclidiană. Orice pătrat are patru unghiuri drepte, deci este dreptunghi.
Există dreptunghiuri care nu au toate laturile egale. Un dreptunghi cu laturile de 2 cm și 5 cm nu este pătrat.
Extensiunea termenului „pătrat” este inclusă strict în extensiunea termenului „dreptunghi”: S ⊂ P.
Răspuns: raport de ordonare; pătratul este specie, iar dreptunghiul este gen în această comparație.
Greșeala frecventă: „Toate pătratele sunt dreptunghiuri” nu permite concluzia „Toate dreptunghiurile sunt pătrate”. Contraexemplul de la pasul 2 infirmă inversarea.
Enunț. Pe masa A există cărți. Se dă propoziția „Toate cărțile de pe masa A sunt manuale”. Construiește contradictoria și contrara în limbaj formal și natural.
Fixăm S = cărțile de pe masa A; P = manualele. Propoziția este universală afirmativă: SaP.
Contradictoria lui SaP este SoP: „Unele cărți de pe masa A nu sunt manuale”. Ea neagă exact faptul că toate sunt manuale.
Contrara lui SaP este SeP: „Nicio carte de pe masa A nu este manual”. Ea exclude toate manualele din categoria S.
Verificare: SaP și SoP nu pot avea aceeași valoare de adevăr. SaP și SeP nu pot fi ambele adevărate când S este nevid, dar pot fi ambele false: pe masă se află un manual și un roman.
Greșeala frecventă: contradictoria lui „toate” nu este „niciuna”, ci „unele nu”.
Enunț. Construiește conversa și obversa propoziției „Niciun pătrat nu este triunghi”. Universul este cel al figurilor geometrice plane.
S = pătrate; P = triunghiuri. Forma inițială este SeP.
Prin conversiune schimbăm locurile termenilor: SeP → PeS. În limbaj natural: „Niciun triunghi nu este pătrat”. Calitatea și cantitatea rămân aceleași.
Prin obversiune schimbăm calitatea și înlocuim predicatul cu complementul său: SeP → Sa(non-P). Rezultă „Toate pătratele sunt figuri care nu sunt triunghiuri”.
Verificare: dacă mulțimile pătratelor și triunghiurilor nu au elemente comune, niciuna dintre reformulări nu permite apariția unui pătrat care este triunghi.
Greșeala frecventă: la obversiune nu este suficient să schimbi „nu este” în „este”; trebuie să complementezi și predicatul.
Enunț. Echipa A are cel puțin un voluntar. Toți voluntarii echipei A sunt elevi. Ce poți afirma corect despre elevi prin conversiune?
S = voluntarii echipei A; P = elevii. Premisa are forma SaP.
Nu putem obține PaS: nu știm că fiecare elev este voluntar în echipa A.
Cum S este nevid, conversiunea prin accident dă PiS: „Unii elevi sunt voluntari în echipa A”.
Contraexemplu pentru PaS: Ana este voluntar și elev, iar Mara este elev, dar nu este voluntar în echipa A. Premisa rămâne adevărată, iar PaS este falsă.
Condiție: trecerea de la o universală la o particulară folosește existența unor S. Aici ea este precizată în enunț; fără această condiție nu presupunem existența voluntarilor.
Enunț. Se admit premisele: „Toți membrii clubului de șah sunt liceeni” și „Toți membrii grupei A sunt membri ai clubului de șah”. Urmează concluzia „Toți membrii grupei A sunt liceeni”?
Din concluzie fixăm S = membrii grupei A; P = liceenii. Termenul mediu M = membrii clubului de șah apare în ambele premise și lipsește din concluzie.
Schema este MaP; SaM; deci SaP: modul aaa, figura 1, numit și Barbara.
Orice element din S aparține lui M, iar orice element din M aparține lui P. Prin includere succesivă, S este inclus în P.
Hașura înseamnă „regiune vidă”, nu „regiune cu elemente”. Mai întâi eliminăm M din afara lui P, apoi S din afara lui M.
Verdict: silogism valid. În diagrama comună, întreaga zonă S aflată în afara lui P este hașurată; aceasta este exact condiția pentru SaP. Nu adăugăm un „x”, deoarece premisele nu afirmă existența unui element particular.
Două categorii incluse în același gen nu sunt identice
Enunț. „Toate viorile sunt instrumente muzicale. Toate flautele sunt instrumente muzicale. Deci toate flautele sunt viori.” Este corect raționamentul?
S = flaute; P = viori; M = instrumente muzicale. Schema este PaM; SaM; deci SaP.
Într-o propoziție A este distribuit subiectul, dar nu și predicatul. M este predicat în ambele premise, deci nu este distribuit în niciuna.
Este încălcată regula distribuirii termenului mediu cel puțin o dată. Premisele nu stabilesc legătura necesară dintre S și P.
Contraexemplu: un flaut și o vioară pot aparține aceleiași categorii a instrumentelor fără să fie același tip de instrument. Formal, S = {f}, P = {v}, M = {f, v}: ambele premise sunt adevărate, concluzia este falsă.
Verdict: silogism nevalid. Două premise adevărate nu fac automat concluzia necesară.
Enunț. Dintr-o cutie cu multe creioane sunt verificate patru. Toate cele verificate au mină albastră. Se concluzionează că toate creioanele din cutie au mină albastră. Ce tip de argument este?
Premisele descriu numai cele patru obiecte observate, nu toate obiectele din cutie.
Concluzia extinde proprietatea la întreaga categorie. Avem inducție incompletă.
Chiar dacă toate observațiile sunt corecte, poate exista un creion neverificat cu mină roșie. Concluzia nu rezultă cu necesitate.
Răspuns: concluzia este o generalizare posibilă, susținută mai bine sau mai slab de selecția cazurilor. Pentru a afirma sigur proprietatea fiecărui creion trebuie verificată întreaga colecție sau adăugată o justificare suficientă.
Greșeala frecventă: a trata câteva exemple favorabile drept demonstrație deductivă.
Toți elevii clubului B sunt sportivi. Rezultă că toți sportivii sunt elevi ai clubului B?
Nu. Forma SaP nu permite PaS. Pot exista sportivi care nu sunt în clubul B. Dacă în club există cel puțin un elev, rezultă doar că unii sportivi sunt elevi ai clubului B, adică PiS.
Care este contradictoria lui „Niciun manual de pe raft nu este deteriorat”?
Propoziția este SeP. Contradictoria este SiP: „Unele manuale de pe raft sunt deteriorate”. Este suficient un singur manual deteriorat pentru a infirma universala negativă.
Dacă ai greșit, revino la regula precisă, apoi încearcă un enunț cu alți termeni. Pentru recapitulare continuă cu lecțiile de Logică BAC și testele de logică.
Teme și sursă de studiu
Exemplele lucrează teme din programa de examen publicată de Ministerul Educației: termeni, propoziții categorice, operații logice, silogism, definire și inducție. Sunt exemple de antrenament, cu formulări proprii, fără punctaje atribuite unui barem oficial.
Ai nevoie de explicații și exercițiu împreună cu un profesor?
Cecilia Ionescu coordonează pregătirea la logică pentru BAC, exclusiv în grupe, în Sectorul 4, la Șoseaua Berceni 104, etajul 9. Ședința de 120 de minute costă 200 lei/elev, cu materialele de lucru incluse. Programul și locurile se confirmă direct.
