Fișă de recapitulare · condiții · verificare

Formule BAC Matematică explicate pe capitole și profile

O formulă este utilă numai dacă știi când se aplică, ce condiții verifici și cum controlezi rezultatul. Fișa de mai jos organizează repere comune de algebră, geometrie și analiză, dar nu pretinde că toate apar în fiecare variantă: confirmă întotdeauna programa profilului tău.

Alege capitolulAplică în exerciții
Profesorul Marius selectează subiecte și bareme pentru BAC Matematică
6 zonede la algebră la integrale
4 profileverificare separată a programei
3 controalecondiții, calcul, rezultat

Alege profilul și scrie condițiile înaintea formulei

Etichetele populare M1, M2, M3 sau M4 nu sunt suficiente când o arhivă le folosește diferit. Reperul sigur este denumirea completă din documentul oficial: M_mate-info, M_șt-nat, M_tehnologic sau M_pedagogic. O formulă prezentă în această fișă poate fi relevantă numai pentru unele variante ori poate apărea cu alt nivel de profunzime.

În caiet, fiecare formulă primește trei rânduri: condițiile de aplicare, un exemplu minimal și o verificare. De pildă, formula logaritmului nu se scrie fără baza pozitivă, diferită de 1, și argument pozitiv; inversa unei matrice nu există când determinantul este zero.

Pagina este o referință web pentru pregătire, nu un document oficial și nu promite un PDF care nu există. O poți tipări sau salva din browser, dar versiunea de lucru trebuie filtrată după programa profilului și completată cu exerciții reale.

Profesorul Marius explică traseele distincte de pregătire pentru BAC Matematică
VariantăPrimul controlTraseu dedicat
M_mate-infoconfirmă programa și nivelul cerințelorBAC mate-info
M_șt-natnu confunda eticheta simplă M2 cu tehnologicBAC științe
M_tehnologicurmărește codul complet al varianteiBAC tehnologic
M_pedagogicverifică denumirea completă, nu convenția M3/M4BAC pedagogic

Ecuații, progresii, puteri și logaritmi

Pentru ecuația ax² + bx + c = 0, cu a ≠ 0, discriminantul este Δ = b² − 4ac. Dacă Δ ≥ 0, rădăcinile reale sunt x₁,₂ = (−b ± √Δ)/(2a). Relațiile lui Viète sunt x₁ + x₂ = −b/a și x₁x₂ = c/a. Verificarea rapidă constă în înlocuirea rădăcinilor sau în controlul sumei și produsului.

În progresia aritmetică, aₙ = a₁ + (n − 1)r și Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. În progresia geometrică, bₙ = b₁qⁿ⁻¹, iar pentru q ≠ 1, Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Indicele începe de la termenul declarat; o deplasare cu o poziție schimbă exponentul și rezultatul.

Pentru logaritmi, logₐ(xy) = logₐx + logₐy și logₐ(x/y) = logₐx − logₐy numai când a > 0, a ≠ 1, x > 0 și y > 0. Schimbarea bazei este logₐx = ln x / ln a. Condițiile se păstrează chiar dacă expresia se simplifică ulterior.

Profesorul Marius explică domeniul de definiție într-un exercițiu cu logaritmi
Condițiile de existență se scriu înaintea transformărilor algebrice.
FamilieFormulă de pornireControl
Ecuație de gradul IIΔ = b² − 4aca ≠ 0; verifică rădăcinile în ecuație
Progresie aritmeticăaₙ = a₁ + (n − 1)rdiferența dintre termeni trebuie să fie r
Progresie geometricăbₙ = b₁qⁿ⁻¹raportul termenilor consecutivi trebuie să fie q
Logaritmilogₐ(xy) = logₐx + logₐybază admisă și argumente strict pozitive

Coordonate, vectori, triunghiuri și relații trigonometrice

Pentru A(x₁,y₁) și B(x₂,y₂), distanța este AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²], iar mijlocul segmentului are coordonatele M((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2). Panta unei drepte neverticale prin două puncte este m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), cu x₂ ≠ x₁.

Produsul scalar al vectorilor u = (u₁,u₂) și v = (v₁,v₂) este u·v = u₁v₁ + u₂v₂. Vectorii nenuli sunt perpendiculari când produsul scalar este zero. Lungimea lui u este √(u₁² + u₂²), iar cosinusul unghiului se obține din u·v = |u||v|cos θ.

Într-un triunghi, teorema sinusurilor este a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, iar teorema cosinusului este a² = b² + c² − 2bc cos A. Aria poate fi S = ab sin C / 2. Înainte de calcul, leagă litera laturii de unghiul opus; această asociere elimină multe erori de substituție.

  1. 1
    Desenează

    Marchează punctele, laturile și unghiurile înainte de a alege relația.

  2. 2
    Asociază

    Verifică latura opusă fiecărui unghi și ordinea coordonatelor.

  3. 3
    Calculează

    Păstrează radicalii sau valorile exacte până la ultimul pas.

  4. 4
    Controlează

    Compară lungimile, semnul și ordinul de mărime cu desenul.

Profesorul Marius explică la tablă un exercițiu pentru BAC Matematică

Matrice, determinanți, sisteme și legi de compoziție

Pentru A = [[a,b],[c,d]], det(A) = ad − bc. Matricea este inversabilă numai dacă det(A) ≠ 0, iar A⁻¹ = 1/det(A) · [[d,−b],[−c,a]]. Controlul complet este A·A⁻¹ = I, nu doar recalcularea determinantului.

Într-un sistem pătratic, regula lui Cramer se aplică atunci când determinantul matricei coeficienților este nenul. Pentru două necunoscute, x = Δₓ/Δ și y = Δᵧ/Δ. Dacă Δ = 0, nu continui împărțirea: clasifici separat compatibilitatea sistemului.

Pentru o lege de compoziție, proprietățile nu se presupun. Elementul neutru e satisface x∘e = e∘x = x, iar inversul lui x satisface x∘x⁻¹ = x⁻¹∘x = e. Domeniul, închiderea, asociativitatea și existența elementelor se verifică în ordinea cerută de problemă.

Profesorul Marius analizează cu un elev o lucrare de BAC Matematică
Determinant

ad − bc

Un rezultat zero schimbă problema: inversa nu există și Cramer nu se aplică direct.

Inversă

A⁻¹ numai pentru det(A) ≠ 0

Schimbă termenii diagonalei principale, opune-i pe ceilalți și verifică produsul.

Sistem

Δ înainte de rapoarte

Calculează determinantul principal și abia apoi alegi metoda de clasificare.

Lege

Definiție înainte de proprietate

Testează închiderea și condițiile pe mulțimea dată, nu pe exemple convenabile.

Limite, derivate, tangentă și studiul variației

Regulile de derivare de bază sunt (u+v)′ = u′+v′, (uv)′ = u′v+uv′ și (u/v)′ = (u′v−uv′)/v², cu v ≠ 0. Pentru compunere, [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x). Copierea corectă a parantezelor este parte din formulă, nu un detaliu de redactare.

Ecuația tangentei la graficul lui f în x₀ este y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀), dacă funcția este derivabilă acolo. Ai nevoie de punctul (x₀,f(x₀)) și de panta f′(x₀); după scriere, verifică faptul că dreapta trece prin punct.

Semnul derivatei descrie variația pe intervalele unde funcția este derivabilă: f′ > 0 indică creștere, iar f′ < 0 descreștere. Punctele unde derivata este zero sunt candidați pentru extreme, nu extreme garantate; confirmarea vine din schimbarea semnului sau din criteriul aplicabil.

La limite, forma 0/0 este un diagnostic pentru transformare, nu rezultatul. Factorizarea, aducerea la același numitor, raționalizarea sau limitele remarcabile se aleg după structură și cu păstrarea domeniului expresiei inițiale.

Profesorul Marius explică derivarea unui produs într-un exercițiu de BAC
Formula este urmată de condiții, pași și verificarea rezultatului.
OperațieFormulăGreșeală de evitat
Produs(uv)′ = u′v + uv′derivarea unui singur factor
Raport(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²omiterea condiției v ≠ 0
Compunere[f(g(x))]′ = f′(g(x))g′(x)omiterea derivatei interioare
Tangentăy − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)folosirea lui x₀ în loc de f(x₀)

Integrează cu condiții și verifică prin derivare

O primitivă a lui f este o funcție F pentru care F′ = f. Formulele de bază includ ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C pentru n ≠ −1, ∫1/x dx = ln|x|+C pe intervale care nu conțin zero și ∫eˣdx = eˣ+C. Constanta C nu se omite la integrala nedefinită.

Formula Leibniz–Newton este ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), pentru o primitivă F și ipotezele cerute pe interval. Integrala definită poate fi negativă; aria geometrică cere controlul semnului și, după caz, împărțirea intervalului sau modul.

Integrarea prin părți se scrie ∫u·v′ dx = uv − ∫u′·v dx. Alegerea lui u și v′ trebuie să simplifice integrala rămasă. Substituția este justificată prin derivata expresiei interioare și prin transformarea corectă a limitelor când integrala este definită.

Verificarea unei primitive este directă: derivează rezultatul și compară cu integrandul pe domeniul relevant. Pentru o integrală definită, controlează semnul și ordinul de mărime printr-o schiță sau o estimare simplă înainte să accepți numărul final.

  1. 1
    Recunoaște forma

    Separă puterea, compunerea, produsul sau raportul înainte de a alege metoda.

  2. 2
    Scrie ipotezele

    Notează intervalul, domeniul și continuitatea cerută de formulă.

  3. 3
    Calculează exact

    Păstrează parantezele, constanta și limitele transformate.

  4. 4
    Derivează sau estimează

    Folosește operația inversă și semnul pentru controlul rezultatului.

Profesorul Marius explică un exercițiu cu limite pentru BAC Matematică
O formă nedeterminată este un diagnostic, nu rezultatul calculului.
Sunt aceleași formule la toate profilele de BAC Matematică?

Nu. Există familii comune, dar programa, profunzimea și tipurile de cerințe diferă între M_mate-info, M_șt-nat, M_tehnologic și M_pedagogic. Filtrează fișa după documentul oficial al profilului.

Această fișă de formule este un document oficial?

Nu. Este o resursă didactică de recapitulare. Programa și documentele publicate de Minister rămân sursa pentru conținutul evaluat și pentru regulile sesiunii.

Pot folosi o fișă de formule în sala de examen?

Pagina este destinată pregătirii. Materialele permise în sala de examen se stabilesc prin regulile oficiale ale sesiunii; verifică metodologia și instrucțiunile curente, nu presupune că o fișă personală este admisă.

Cum memorez formulele fără să le confund?

Grupează-le după problemă, scrie condițiile și aplică fiecare formulă într-un exemplu minimal. Repetă prin recuperare din memorie, apoi verifică pe o cerință formulată diferit.

Ce verific înainte de formula ecuației de gradul al doilea?

Confirmă că ecuația are forma ax²+bx+c=0 cu a diferit de zero, calculează discriminantul și verifică rădăcinile în ecuația inițială.

Cum deosebesc formula progresiei aritmetice de cea geometrică?

În progresia aritmetică diferența dintre termeni este constantă; în cea geometrică raportul termenilor consecutivi este constant, când împărțirea este definită.

Ce condiții au formulele cu logaritmi?

Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, iar fiecare argument al logaritmului trebuie să fie strict pozitiv pe domeniul analizat.

Când există inversa unei matrice?

Pentru o matrice pătratică, inversa există când determinantul este nenul. După calcul, verifică produsul cu matricea inițială și obținerea matricei identitate.

Când pot folosi regula lui Cramer?

În forma uzuală pentru un sistem pătratic, când determinantul matricei coeficienților este nenul. Dacă determinantul este zero, sistemul trebuie clasificat prin altă analiză.

Care este formula derivatei unui produs?

Pentru funcții derivabile, (uv)′=u′v+uv′. Ambii termeni sunt necesari; verifică apoi prin dezvoltare sau printr-un caz simplu.

Cum derivezi o funcție compusă?

Folosești [f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x). Derivata funcției interioare nu se omite.

Cum scriu ecuația tangentei?

Calculezi f(x₀) și f′(x₀), apoi scrii y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀). Verifică dacă dreapta trece prin punctul de contact.

Cum verific o primitivă?

Derivezi rezultatul și compari cu funcția inițială pe intervalul relevant. La integrala nedefinită păstrezi și constanta arbitrară C.

Care este diferența dintre integrală definită și arie?

Integrala definită păstrează semnul funcției. Aria geometrică este nenegativă și poate cere împărțirea intervalului în zone unde funcția are semn constant.

Când folosesc teorema sinusurilor și când pe cea a cosinusului?

Teorema sinusurilor este utilă când ai perechi latură–unghi opus; teorema cosinusului când cunoști trei laturi sau două laturi și unghiul cuprins.

De ce trebuie scrise condițiile înaintea formulei?

Condițiile decid dacă formula este validă. Un calcul corect aplicat în afara domeniului poate produce un răspuns inadmisibil.

Cum verific rapid rezultatul unei formule?

Folosește înlocuirea, operația inversă, derivarea, produsul matricial, semnul, unitățile sau o estimare a ordinului de mărime, după tipul cerinței.

Ce fac după ce am învățat fișa de formule?

Rezolvă fără model exerciții din profilul tău, notează formula aleasă și prima eroare, apoi treci la subiecte oficiale și corectează fiecare pas cu baremul pereche.

📞Sună Acum💬WhatsApp