Formule · condiții · exemple controlate
Fișa nu cere memorare oarbă. Pentru fiecare relație arată ce înseamnă simbolurile, când poate fi folosită și prin ce control rapid poți depista o substituție greșită.
Această fișă este destinația principală pentru formulele folosite la Evaluarea Națională. Relația matematică este însoțită de simboluri, condiții, unități și un exemplu scurt, ca să nu fie aplicată mecanic.
Alege mai jos familia de formule de care ai nevoie. Pentru conținuturile examenului, verifică programa oficială pentru EN 2027. Această fișă este un material de recapitulare, nu un formular oficial de examen.
Fișa include formula ariei pentru figurile uzuale, formula volumului pentru corpurile studiate, formule cu radicali și definiția teoremei lui Pitagora, fiecare împreună cu ipotezele și unitățile necesare.
Înainte de substituție, scrie semnificația simbolurilor și adu toate lungimile în aceeași unitate. După calcul, verifică semnul, ordinul de mărime și unitatea. Dacă rezultatul este o arie, unitatea trebuie ridicată la pătrat; dacă este volum, la cub. La relațiile algebrice, verificarea se face prin înlocuirea rezultatului în enunț.
Fișa se învață pe familii, nu ca o coloană lungă de egalități. Într-o sesiune lucrezi două sau trei relații, apoi rezolvi o cerință directă și una în care formula nu este numită. Marcajul «știu formula» se acordă numai când elevul poate spune și de ce se aplică.
Numește figura sau relația din enunț și notează datele utile.
Triunghiul este dreptunghic? Mărimile sunt direct proporționale? Numitorul este nenul?
Abia apoi înlocuiește numerele, păstrând unitățile și parantezele.
Compară-l cu desenul, cu datele inițiale și cu o estimare simplă.
Proporția a/b = c/d, cu b și d nenule, permite produsul mezilor egal cu produsul extremilor: a·d = b·c. Pentru p% din N folosim p/100 · N. O creștere cu p% produce N·(1 + p/100), iar o reducere produce N·(1 − p/100). Procentul se raportează mereu la baza precizată; două modificări succesive nu se adună mecanic.
La puteri cu aceeași bază nenulă: am·an = am+n, am:an = am−n și (am)n = amn. Pentru radicali reali, √(a²) = |a|, nu a în orice situație. Modulul păstrează distanța față de zero și explică de ce rezultatul nu poate fi negativ.
| Relație | Condiție / sens | Control rapid |
|---|---|---|
| a/b = c/d ⇔ a·d = b·c | b ≠ 0 și d ≠ 0 | Cele două produse trebuie să coincidă |
| p% din N = p·N/100 | N este baza procentului | 10% trebuie să fie a zecea parte |
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | Identitate pentru orice numere reale | Termenul din mijloc nu lipsește |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | Ultimul termen rămâne pozitiv | Dezvoltarea nu poate fi negativă |
| (a − b)(a + b) = a² − b² | Diferență de pătrate | Nu apare termen în ab |
| √(a²) = |a| | a este real | Radicalul aritmetic este nenegativ |
| m = (x₁ + … + xₙ)/n | n valori, n > 0 | Media se află între minim și maxim |
| P(A) = cazuri favorabile / cazuri posibile | Cazuri elementare echiprobabile | Probabilitatea este între 0 și 1 |
Pentru ecuația liniară ax + b = 0, cu a ≠ 0, soluția este x = −b/a. La orice transformare păstrăm echivalența: adunăm sau scădem aceeași expresie în ambii membri și înmulțim ori împărțim cu aceeași valoare nenulă. Soluția finală se introduce în ecuația inițială, nu doar în ultima linie de calcul.
Graficul funcției f(x) = ax + b este o dreaptă. Punctul de coordonate (x, y) aparține graficului exact când y = ax + b. Intersecția cu axa Oy se obține pentru x = 0, iar intersecția cu Ox se obține din ax + b = 0, dacă a ≠ 0. Panta a descrie variația lui y la creșterea lui x cu o unitate.
Enunț: Rezolvă 3(x − 2) + 5 = 2x + 9.
Date: Ecuație în mulțimea numerelor reale.
Cerință: Determină x și verifică soluția.
Rezultat: x = 10
Verificare: În membrul stâng: 3·8 + 5 = 29; în membrul drept: 20 + 9 = 29.
Enunț: Verifică dacă A(2, 7) aparține graficului funcției f(x) = 3x + 1.
Date: x = 2 și ordonata punctului este 7.
Cerință: Compară f(2) cu ordonata punctului.
Rezultat: A aparține graficului
Verificare: Perechea (2, 7) verifică egalitatea y = 3x + 1.
Pentru dreptunghiul cu laturile L și l: P = 2(L + l), A = L·l și diagonala d satisface d² = L² + l². Pentru pătratul de latură a: P = 4a, A = a² și d = a√2. Aria paralelogramului este b·h, iar aria trapezului este (B + b)·h/2, unde h este perpendiculară pe baze, nu latura oblică.
Într-un triunghi, A = b·h/2. Pentru triunghiul dreptunghic, teorema lui Pitagora este c² = a² + b², unde c este ipotenuza. Relațiile metrice se aplică numai după identificarea dreptunghiului și a proiecțiilor. Pentru triunghiul echilateral de latură a, h = a√3/2 și A = a²√3/4.
Pentru cerc: lungimea este 2πr = πd, iar aria discului este πr². Raza dusă la punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. Când se dă diametrul, raza este jumătate; aceasta este una dintre cele mai frecvente substituții greșite.
| Figură | Perimetru / lungime | Arie | Condiție importantă |
|---|---|---|---|
| Triunghi | a + b + c | b·h/2 | h este perpendiculară pe baza b |
| Dreptunghi | 2(L + l) | L·l | Unghiurile sunt drepte |
| Pătrat | 4a | a² | Toate laturile egale și unghiuri drepte |
| Paralelogram | 2(a + b) | b·h | h nu este, în general, latura oblică |
| Romb | 4a | D·d/2 | Diagonalele sunt perpendiculare |
| Trapez | B + b + l₁ + l₂ | (B + b)·h/2 | B și b sunt bazele paralele |
| Cerc / disc | 2πr | πr² | d = 2r |
L = 2πr = πd; A = πr². r este raza, d este diametrul. L măsoară lungimea cercului, iar A măsoară aria discului.
Pornește de la mărimea dată în enunț și de la ceea ce trebuie calculat. Scrie rezultatul exact cu π; folosește o aproximare numai dacă cerința o solicită. Pentru arc și sector, unghiul din formulă este cel de la centru și este exprimat în grade.
d = 2r; r = d/2
r este raza, d este diametrul; ambele sunt lungimi pozitive.
L = 2πr = πd; A = πr² = πd²/4
L este circumferința, A este aria discului. Dacă r este în cm, L este în cm, iar A în cm².
ℓ = 2πr · α/360; Asector = πr² · α/360
α este unghiul la centru, măsurat în grade, cu 0 ≤ α ≤ 360. Aceeași fracție din întreg se folosește pentru arc și pentru sector.
Asemidisc = πr²/2; Larc = πr
Perimetrul semidiscului cuprinde și diametrul: P = πr + 2r. Arcul singur nu este întregul contur.
A = π(R² − r²)
R și r sunt razele a două cercuri concentrice, cu R > r > 0. Scazi ariile, nu ridici diferența razelor la pătrat.
Enunțurile de mai jos sunt exerciții de antrenament ale acestei fișe, nu subiecte oficiale. Scrie formula, înlocuiește datele și verifică unitatea rezultatului.
Un cerc are diametrul de 22 cm. Calculează lungimea cercului și aria discului.
Rezultat: L = 22π cm; A = 121π cm².
Verificare: Folosind raza obținem aceeași lungime: 2π · 11 = 22π cm. Lungimea are unitate liniară, aria are unitate pătrată.
Lungimea unui cerc este 26π cm. Află raza, diametrul și aria discului.
Rezultat: r = 13 cm; d = 26 cm; A = 169π cm².
Verificare: Înlocuirea în L = πd dă π · 26 = 26π cm, exact lungimea din enunț.
Un cerc are raza de 10 cm. Un unghi la centru măsoară 72°. Calculează lungimea arcului și aria sectorului corespunzător.
Rezultat: Lungimea arcului = 4π cm; aria sectorului = 20π cm².
Verificare: Cinci arce identice refac cercul: 5 · 4π = 20π cm. Cinci sectoare identice refac discul: 5 · 20π = 100π cm².
Pentru o prismă dreaptă, V = Abazei·h, iar aria laterală este Pbazei·h. La paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile a, b, c: V = abc, Atotală = 2(ab + ac + bc), iar diagonala d = √(a² + b² + c²). Pentru cub: V = a³, Atotală = 6a² și diagonala spațială este a√3.
Pentru piramidă, V = Abazei·h/3. Factorul 1/3 nu se omite. Pentru cilindrul circular drept: V = πr²h, Alaterală = 2πrh și Atotală = 2πr(r + h). Pentru con: V = πr²h/3 și Alaterală = πrg, unde g este generatoarea. Pentru sferă: A = 4πr² și V = 4πr³/3.
| Corp | Volum | Arie totală / reper | Eroare de prevenit |
|---|---|---|---|
| Prismă dreaptă | Ab·h | 2Ab + Pb·h | Înălțimea corpului nu este orice muchie |
| Cub | a³ | 6a² | Diagonala feței a√2 ≠ diagonala corpului a√3 |
| Piramidă | Ab·h/3 | Bază + fețe laterale | Apotema feței nu este înălțimea corpului |
| Cilindru | πr²h | 2πr(r + h) | Aria bazei este πr², nu 2πr |
| Con | πr²h/3 | πr(r + g) | Generatoarea și înălțimea au roluri diferite |
| Sferă | 4πr³/3 | 4πr² | Puterea unității trebuie să corespundă mărimii |
Acoperă coloana cu formula și încearcă să o reconstruiești din numele figurii, simboluri și unitate. Apoi schimbă o dată din exemplu și recalculează. La final, amestecă două capitole: de exemplu, determină o lungime prin Pitagora și folosește-o într-o arie. Această alternare testează alegerea relației, nu memoria poziției ei pe pagină.
Păstrează o listă a confuziilor personale: rază–diametru, arie–perimetru, înălțime–apotemă, procent–valoare finală. Revizuirea eficientă pornește de la aceste perechi, apoi continuă cu un test scurt și cu o simulare completă doar când baza este stabilă.
Pentru fiecare formulă, formulează o propoziție: «o pot folosi dacă…».
Alege un exercițiu în care numele relației nu apare în cerință.
Continuă aici →Lungime, arie și volum au unități diferite; controlul prinde erori foarte ieftin.
Această pagină este o fișă didactică de recapitulare, nu un formular oficial. Pentru materialele permise, structura probei și conținuturile evaluate, verifică întotdeauna instrucțiunile, programa și modelele oficiale valabile pentru sesiunea ta.
Nu. Sunt mai stabile când sunt grupate pe familii, reconstruite din proprietăți și aplicate repetat în exerciții distribuite în timp.
Lungimea cercului este 2πr și se exprimă în unități de lungime. Aria discului este πr² și se exprimă în unități pătrate.
Radicalul aritmetic reprezintă valoarea nenegativă. Dacă a este negativ, rezultatul nu poate fi a, ci opusul său pozitiv, adică |a|.
Numai într-un triunghi dreptunghic, după identificarea ipotenuzei ca latura opusă unghiului drept.
Adu dimensiunile în aceeași unitate, verifică elementele folosite și controlează ca rezultatul să aibă unitate cubică și ordin de mărime plauzibil.
Înălțimea corpului este perpendiculară pe planul bazei; apotema unei fețe laterale se află în acea față. Marchează unghiul drept și numește triunghiul în care lucrezi.
Nu. Nota depinde de recunoașterea tipului de problemă, calcule, justificări, gestionarea timpului și verificare. Formulele sunt numai una dintre componente.
Recapitulează proporții și procente, regulile puterilor, identitățile algebrice, radicalii, ecuația liniară, funcția de gradul întâi, media și probabilitatea, întotdeauna împreună cu domeniul și condițiile lor.
Perimetrele și ariile figurilor uzuale, teorema lui Pitagora, relațiile metrice în triunghiul dreptunghic, asemănarea, lungimea cercului și aria discului trebuie legate de ipoteza configurației, nu memorate izolat.
Separă aria laterală, aria totală și volumul pentru prismă, piramidă, cilindru și con. Identifică baza, înălțimea corpului, raza și apotema înainte de substituție.
Pagina este concepută pentru consultare și recapitulare online. Poți folosi funcția de imprimare a browserului pentru o copie personală, dar verifică de fiecare dată programa și modelele oficiale curente.
Spune în cuvinte ce mărime cauți, ce figură sau relație ai și ce ipoteze sunt date. Formula este potrivită numai dacă simbolurile și condițiile corespund exact enunțului.
Formulele combină mărimi compatibile. Dacă o lungime este în metri și alta în centimetri, calculul numeric nu descrie figura corect; conversia se face înainte de ridicarea la pătrat sau la cub.
Grupează-le pe familii, desenează configurația, reconstruiește relația și aplic-o pe două exerciții cu date diferite. Repetarea distribuită și explicarea condiției sunt mai stabile decât recitirea unei liste.
Compară rezultatul cu datele și cu o estimare simplă. O arie a unei figuri interioare nu ar trebui să depășească aria figurii care o conține, iar o probabilitate trebuie să rămână între 0 și 1.
Marchează formulele pe care le poți explica și aplică-le în itemi scurți. Pentru fiecare relație nesigură, notează condiția, rezolvă un exemplu și verifică rezultatul; nu introduce liste noi fără exercițiu.
Nu. Programa delimitează competențele și conținuturile evaluate, iar această fișă organizează didactic relații utile pentru recapitulare. În caz de diferență, documentele oficiale curente au prioritate.