Exerciții originale · pași expliciți · verificare
Fiecare model separă datele, cerința, metoda, rezultatul și verificarea. Scopul nu este să copiezi o rezolvare, ci să poți reconstrui singur drumul pe un exercițiu asemănător.
Acoperă mai întâi soluția și scrie ce capitol recunoști, ce date sunt utile și ce rezultat aproximativ aștepți. Deschide apoi pașii unul câte unul și compară decizia, nu doar operația. Dacă ai folosit altă metodă corectă, verifică dacă ajunge la același rezultat și dacă justificarea este completă.
După fiecare model schimbă numerele sau cerința. De exemplu, după o reducere procentuală, cere prețul inițial; după aria unui triunghi, cere înălțimea. Transferul la o variantă nouă arată dacă metoda a fost înțeleasă. Verificarea nu este decor: ea trebuie să folosească enunțul, o proprietate sau o estimare independentă.
Reformulează cerința și notează necunoscuta, unitățile și restricțiile.
Alege relația și spune de ce se potrivește configurației.
Scrie transformări lizibile, fără salturi care ascund semne sau numitori.
Înlocuiește, estimează sau folosește o a doua proprietate.
La exercițiile numerice, simplificarea înaintea calculului reduce riscul. La procente, cuvântul «din» indică baza, iar o reducere se aplică prețului anterior. Dacă apar două modificări succesive, a doua are o bază nouă; nu adunăm procentele decât în situații care justifică aceeași bază.
Enunț: Calculează E = 3/4 − (2/3 − 1/6).
Cerință: Determină valoarea exactă a lui E.
Verificare: 0,75 − (aproximativ 0,667 − 0,167) = 0,75 − 0,5 = 0,25.
Enunț: Un ghiozdan costă 240 lei și este redus cu 15%. Care este prețul nou?
Date: Preț inițial 240 lei; reducere 15% din prețul inițial.
Cerință: Calculează reducerea și valoarea finală.
Verificare: 10% sunt 24 lei și 5% sunt 12 lei; în total 36, iar 240 − 36 = 204.
Într-o problemă algebrică, scrierea necunoscutei și a relației dintre date este mai importantă decât viteza cu care mutăm termenii. La funcții, coordonatele și scara axelor se citesc exact. O pereche aparține graficului doar dacă satisface relația, nu fiindcă punctul pare apropiat de dreaptă.
Enunț: Suma a două numere este 47, iar numărul mai mare este cu 9 mai mare decât cel mic. Determină numerele.
Verificare: 19 + 28 = 47 și 28 − 19 = 9.
Enunț: Pentru f(x) = −2x + 5, determină x dacă f(x) = 13.
Date: Valoarea funcției este 13.
Cerință: Rezolvă ecuația −2x + 5 = 13.
Nu măsura cu rigla pe desenul schematic și nu presupune proprietăți care nu sunt date. Marchează unghiurile drepte, laturile egale și paralelele, apoi numește teorema. Unitățile se convertesc înainte de formule, iar rezultatul se compară cu laturile și cu aria figurii care îl conține.
Enunț: Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Calculează BC și aria triunghiului.
Date: Catetele au lungimile 6 cm și 8 cm.
Cerință: Determină ipotenuza și aria.
Verificare: 6–8–10 este un triplet pitagoreic, iar aria este jumătate din dreptunghiul 6 × 8.
Enunț: Un cerc este înscris într-un pătrat cu latura de 10 cm. Calculează aria zonei din pătrat aflate în exteriorul discului.
Date: Diametrul cercului este egal cu latura pătratului, deci r = 5 cm.
Cerință: Scade aria discului din aria pătratului.
Verificare: Cu π ≈ 3,14, aria este aproximativ 21,5 cm², pozitivă și mai mică decât 100 cm².
Geometrie în spațiu și problemă mixtă
În corpurile geometrice, aceeași literă poate reprezenta muchie, diagonală a feței sau diagonală spațială. Scrie explicit segmentul calculat. Când problema combină volum și procente, păstrează rezultatul exact până la ultima operație și controlează unitatea cubică.
Enunț: Un cub are muchia de 4 cm. Calculează diagonala unei fețe, diagonala cubului și volumul.
Cerință: Determină cele două diagonale și volumul.
Rezultat: df = 4√2 cm; d = 4√3 cm; V = 64 cm³
Verificare: 4 < 4√2 < 4√3, iar volumul are unitatea cm³.
Enunț: Un rezervor dreptunghiular are lungimea 80 cm, lățimea 50 cm și înălțimea 40 cm. Este umplut la 75%. Câți litri de apă conține?
Date: 1 litru = 1.000 cm³; grad de umplere 75%.
Cerință: Calculează volumul apei în litri.
Verificare: Volumul total este 160 litri, iar trei sferturi din 160 sunt 120.
Rapoarte, radicali și probabilitate
Aceste exerciții adaugă patru familii care apar frecvent în pregătire: proporționalitate, radicali, aflarea valorii inițiale după o modificare procentuală și probabilitate. La fiecare, controlul folosește altă cale decât calculul principal. Astfel poți depista dacă rezultatul este doar plauzibil sau este demonstrat.
Enunț: Pe o hartă, 3 cm reprezintă 4,5 km. Ce distanță reală reprezintă 8 cm la aceeași scară?
Cerință: Determină distanța reală corespunzătoare celor 8 cm.
Verificare: Un centimetru reprezintă 1,5 km, iar 8·1,5 = 12 km.
Enunț: Simplifică expresia √75 − √12.
Cerință: Scrie rezultatul sub forma a√3.
Verificare: La pătrat, 3√3 are valoarea pozitivă aproximativă 5,196, egală cu √75 − √12 la aceeași precizie.
Enunț: După o reducere de 20%, un produs costă 320 lei. Care a fost prețul inițial?
Date: Prețul final reprezintă 80% din prețul inițial.
Cerință: Determină prețul înaintea reducerii.
Verificare: 20% din 400 sunt 80 lei, iar 400 − 80 = 320 lei.
Enunț: O cutie conține 5 bile roșii, 3 albastre și 2 verzi. Se extrage o bilă. Care este probabilitatea să nu fie albastră?
Date: 10 bile în total; 7 bile nu sunt albastre.
Cerință: Calculează probabilitatea evenimentului cerut.
Verificare: P(albastră) = 3/10, iar probabilitatea complementară este 1 − 3/10 = 7/10.
În aceste modele nu este suficientă memorarea unei formule. Mai întâi trebuie identificată configurația: laturi corespondente, baze paralele, aria bazei sau raza. Rezultatul se verifică prin raport, ordin de mărime ori unitate.
Enunț: Două triunghiuri asemenea au raportul laturilor primului față de al doilea egal cu 3/5. O latură a primului are 12 cm. Determină latura corespondentă din al doilea.
Cerință: Determină latura corespondentă x.
Verificare: Al doilea triunghi este mai mare; 20·3/5 = 12 cm.
Enunț: Un trapez are bazele de 8 cm și 14 cm. Calculează lungimea liniei mijlocii.
Cerință: Aplică relația pentru linia mijlocie.
Verificare: 11 este media aritmetică a bazelor și se află între 8 și 14.
Enunț: O prismă dreaptă are aria bazei 24 cm² și înălțimea 7 cm. Calculează volumul.
Date: A<sub>bazei</sub> = 24 cm²; h = 7 cm.
Cerință: Determină volumul prismei.
Verificare: Aria în cm² înmulțită cu înălțimea în cm produce corect cm³.
Enunț: Un cilindru circular drept are raza 4 cm și înălțimea 6 cm. Calculează aria laterală și volumul.
Cerință: Determină A<sub>l</sub> și V.
Verificare: Volumul este aria bazei 16π cm² înmulțită cu înălțimea 6 cm.
Reia cele șaisprezece modele după 24–48 de ore și scrie numai ideea fiecărei soluții. Apoi schimbă datele: 20% în loc de 15%, alte catete într-un triplet pitagoreic, alt grad de umplere. Dacă metoda se pierde la prima modificare, revino la condiție și la reprezentare, nu memora șirul de calcule.
Pentru progres măsurabil, marchează fiecare încercare cu C — concept, A — alegerea metodei, K — calcul, R — redactare sau V — verificare. Pagina despre greșelile frecvente arată cum transformi aceste etichete într-un plan de corecție.
Leagă fiecare exercițiu de formula și condiția care l-au făcut posibil.
Continuă aici →Treci la itemi fără soluție afișată și corectează după final.
Continuă aici →Varianta completă se folosește după consolidarea lacunelor de bază.
Continuă aici →Nu. Sunt modele originale construite pentru explicarea metodelor. Subiectele și baremele oficiale sunt indicate separat, pe pagina dedicată arhivei.
Verificarea confirmă independent rezultatul și formează un obicei util la examen. Poate fi substituție, estimare, proprietate geometrică sau calcul prin altă cale.
Încearcă mai întâi să identifici datele și metoda. Citește apoi numai până la primul pas pe care nu îl poți justifica și reia problema.
Da. O problemă poate admite metode diferite. Fiecare trebuie să folosească proprietăți corecte, să justifice pașii și să ajungă la un rezultat verificabil.
Schimbă o dată, inversează cerința sau combină metoda cu un al doilea capitol. Apoi rezolvă fără să privești pașii modelului.
La itemii care cer redactare, pașii relevanți și justificările permit acordarea punctajului parțial. Un răspuns izolat nu arată metoda.
Exercițiile izolate corectează o competență. Simularea măsoară simultan selecția itemilor, timpul, rezistența și redactarea unei variante complete.
Poți explica de ce se aplică metoda, o poți folosi pe date schimbate și poți depista un rezultat imposibil fără să recitești modelul.
Sunt acoperite calcule cu fracții și procente, ecuații, funcții, geometrie plană, geometrie în spațiu, proporții, radicali și probabilități, fiecare cu enunț, metodă, rezultat și verificare.
Da. Modelele sunt construite pentru competențe întâlnite în pregătirea de clasa a VIII-a, dar programa oficială rămâne reperul pentru conținuturile care pot fi evaluate într-un anumit an.
Notează datele, cerința și capitolul probabil, apoi caută o relație care le leagă. Dacă rămâi blocat, deschide doar primul pas al rezolvării și încearcă din nou înainte de a citi continuarea.
Înlocuiește valoarea obținută în relația inițială, nu doar în ultima linie de calcul. Verifică separat și eventualele restricții ale necunoscutei.
Controlează unitatea, ordinul de mărime și compatibilitatea cu figura. Pentru o lungime poți folosi o a doua proprietate, iar pentru arie sau volum poți compara cu o figură simplă care conține sau este conținută în configurație.
Exersează identificarea configurației, justificarea proprietăților și redactarea fără salturi. După model, rezolvă o variantă cu date schimbate și verifică dacă metoda rămâne validă.
Alege un volum pe care îl poți corecta atent. Trei sau patru exerciții analizate complet pot fi mai utile decât multe răspunsuri neverificate; mărește volumul numai după ce erorile nu se repetă.
Da, după ce metoda este stabilă. La început urmărește corectitudinea și redactarea; apoi notează timpul fără să sacrifici verificarea, ca să observi ce tip de item consumă disproporționat de mult.
Pagina de subiecte și bareme separă arhiva oficială de modelele originale, iar pagina de simulări este destinată variantelor complete lucrate în condiții apropiate de examen.
Pentru fiecare greșeală notează capitolul, decizia greșită, cauza și regula de corecție. Reia după 24–48 de ore un exercițiu asemănător și marchează eroarea drept închisă numai dacă metoda poate fi explicată fără model.